Resumen
Esta página te guía por las ideas centrales de Juegos no cooperativos (1950): la noción de punto de equilibrio (hoy, equilibrio de Nash), su existencia en juegos finitos, el papel de las simetrías, la estructura de soluciones y subsoluciones, y un ejemplo clásico: un póker de tres jugadores. Practicarás con una matriz 2×2 para detectar mejores respuestas y calcular equilibrios mixtos.
Concepto central
EquilibrioCada jugador no puede mejorar unilateralmente
Resultado clave
ExistenciaSiempre hay ≥1 equilibrio en juegos finitos
Herramienta práctica
Matriz 2×2Mejores respuestas y mixtos
Definiciones clave
Juego finito n jugadores, cada uno con estrategias puras finitas; pagos \(p_i\) definidos para cada combinación de estrategias puras. Las estrategias mixtas son combinaciones probabilísticas sobre las puras.
La linealidad extiende \(p_i\) a combinaciones mixtas y permite trabajar en simples y politopos.
Equilibrio de Nash Un perfil \(s=(s_1,\dots,s_n)\) es equilibrio si, fijadas las estrategias de los demás, cada \(s_i\) maximiza el pago de su jugador. Es decir, nadie mejora cambiando en solitario.
En 2×2, un equilibrio puro es una celda que contiene mejores respuestas de ambos.
Consecuencia útil: si una estrategia pura no es óptima contra \(s_{-i}\), su probabilidad en \(s_i\) debe ser 0.
Teorema de existencia
En juegos finitos, existe al menos un equilibrio. Una manera (elegante) de verlo: construye una aplicación continua en el politopo de perfiles que “empuja” masa hacia mejores respuestas; por compacidad y el teorema de Brouwer, hay un punto fijo cuyos límites satisfacen la condición de equilibrio.
En cursos se menciona también la prueba con Kakutani; aquí usamos la intuición de Brouwer.
Simetrías y equilibrio simétrico
Si el juego es invariante ante permutar jugadores/estrategias (una automorfía del juego), existen perfiles simétricos y, de hecho, un equilibrio puede tomarse simétrico en juegos finitos simétricos.
Soluciones, fuertes y subsoluciones
Nash introduce la idea de solución como el conjunto de equilibrios que cumple una condición de “intercambiabilidad” de componentes. Una solución fuerte exige estabilidad adicional ante sustituciones que preservan pagos. Las subsoluciones siempre existen: son subconjuntos máximos de equilibrios cerrados bajo esa intercambiabilidad; su producto cartesiano define los conjuntos de estrategias de equilibrio por jugador, que resultan convexos y poliedrales.
Dominancia y método de contradicción
Una estrategia domina a otra si da más pago para cualquier jugada de los demás. Los equilibrios nunca usan estrategias dominadas. Eliminar dominadas reduce el espacio de búsqueda y, a veces, permite un razonamiento por contradicción para descartar regiones imposibles.
Ejemplo clásico: póker de tres jugadores
Nash analiza un póker simplificado de tres jugadores mediante parámetros de comportamiento (probabilidades de abrir, pasar, pagar). Tras eliminar muchas acciones por dominancia y contradicciones, queda un sistema con una única solución en el intervalo (0,1).
Moral: incluso en juegos con más de dos jugadores, la estructura de mejores respuestas y simetrías guía hacia patrones de equilibrio.
Interpretaciones
Acción de masas Si poblaciones de jugadores prueban y aprenden, las frecuencias que sobreviven describen un punto donde nadie mejora cambiando solo: un equilibrio.
Predicción racional En juegos “de una sola vez”, una selección única, estable y deducible por todos sugiere tomar el (sub)conjunto de equilibrios como predicción.
Aplicaciones
Dos direcciones que sugiere Nash: (1) juegos genuinamente no cooperativos (póker, competencia) y (2) cooperación modelada como un juego más grande de negociación no cooperativa, cuyos valores interpretamos como los del juego cooperativo original.
Práctica interactiva: juego 2×2
Introduce pagos (\(u_1,u_2\)) en cada celda. Pulsar “Calcular” resalta mejores respuestas y equilibrios puros. Si no hay puros, calcula el equilibrio mixto (si existe) y lo muestra.
Convención: el par (u₁,u₂) es el pago de Jugador 1 y Jugador 2 respectivamente.
Columna A
Columna B
Fila A
Fila B
Quiz de 8 preguntas
Glosario (flashcards)
Pulsa cada tarjeta para voltear.
Créditos
Página didáctica basada en la tesis de J. F. Nash Jr. (1950). Diseño y desarrollo: Ángel Soto Tesis (J. Nash) versión online