Guía interactiva — Ecuación de Dirac (modo dark)

Explora la relación energía–momento

La ecuación de Dirac describe partículas de espín 1/2 (como el electrón) de forma compatible con la relatividad especial. Una de sus consecuencias es la relación de dispersión: $$E_\pm(p) = \pm\sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}\,,$$ que predice ramas de energía positiva y negativa (base para la idea de antimateria).

Unidades: Partícula:

$E_+(p)$ $E_-(p)$

Masa $m$ (MeV): 0.511

Rango de momento $p_\text{máx}$ (MeV): 5

Energía de reposo

0.511 MeV

Long. de Compton

2.426 pm

Ejemplo: $p = m$

$E_+ = 0$

Conceptos clave, sin dolor

¿De dónde sale la ecuación de Dirac?

La ecuación de Schrödinger no es relativista. El intento ingenuo de “relativizarla” lleva a la ecuación de Klein‑Gordon (de segundo orden en el tiempo), que funciona para espín 0 pero presenta problemas para probabilidades. Dirac buscó una ecuación lineal en derivadas y compatible con $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$. La solución introduce matrices $\gamma^\mu$ y espinores de 4 componentes:

$$ (\gamma^\mu p_\mu - mc)\,\psi = 0, \qquad \mu=0,1,2,3. $$

Aquí $p_\mu=(E/c, -\mathbf{p})$ y $\psi$ es el espinor de Dirac. La linealidad evita probabilidades negativas y revela naturalmente el espín 1/2.

Antimateria y energías negativas

La estructura $E_\pm$ sugiere estados de energía negativa. La reinterpretación (Stückelberg–Feynman) los ve como antipartículas con carga opuesta moviéndose hacia adelante en el tiempo. El positrón (antipartícula del electrón) se descubrió en 1932, validando la predicción de Dirac.

Espín 1/2 y “bit cuántico” (visual interactiva)

Un espín 1/2 puro en la dirección $\hat{n}(\theta,\varphi)$ tiene probabilidades $P(\uparrow_z)=\cos^2(\tfrac{\theta}{2})$, $P(\downarrow_z)=\sin^2(\tfrac{\theta}{2})$.

Ángulo $\theta$ (0–π): 0.90

Ángulo $\varphi$ (0–2π): 1.20

$P(\uparrow_z)=\dots$, $P(\downarrow_z)=\dots$

Predicciones y aplicaciones

$g\approx2$ para el momento magnético del electrón (con correcciones de QED).
Describe estructuras finas en el átomo de hidrógeno y acoplamiento espín‑órbita.
Base para entender conductividad relativista en materiales como grafeno (cuasipartículas tipo Dirac).

Implicaciones y simplificaciones útiles

Unidades naturales: poner $c=\hbar=1$ simplifica $E_\pm = \pm\sqrt{p^2+m^2}$.
Límite no relativista: si $p\ll m$, entonces $E_+\approx m+\tfrac{p^2}{2m}$ (recupera Schrödinger).
Partículas masivas vs. casi sin masa: para $m\to0$, $E_\pm\approx\pm|p|$; las ecuaciones se desacoplan en quirialidades.

Resumen en 5 ideas

Compatibilidad relativista: linealiza la relación $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ usando matrices $\gamma^\mu$.
Espín y espinores: la ecuación exige objetos de 4 componentes (espín 1/2 y antipartícula emergen naturalmente).
Antimateria: la rama $E_-(p)$ se interpreta como antipartículas con carga opuesta.
Límites: recupera Schrödinger en bajas velocidades y ondas de Weyl/Dirac masless cuando $m\to0$.
Predicciones reales: momento magnético $\sim2$, espectros atómicos y fenómenos en materiales “tipo Dirac”.